.解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.Р考点3 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题Р题组一圆锥曲线中的定点问题Р调研1 设直线l的方程为x=m(y+2)+5,该直线交抛物线C:y2=4x于P,Q两个不同的点.Р(1)若点A(5,-2)为线段PQ的中点,求直线l的方程;Р(2)证明:以线段PQ为直径的圆M恒过点B(1,2).Р【解析】(1)联立,消去x得y2-4my-4(2m+5)=0,Р设P(x1,y1),Q(x2,y2),Р则y1+y2=4m,y1y2=-8m-20,Р因为A为线段PQ的中点,所以y1+y22=2m=-2,解得m=-1,Р所以直线l的方程为x+y-3=0.Р(2)因为x1+x2=m(y1+y2)+2(2m+5)=4m2+4m+10,Р,Р所以BP⋅BQ=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2),Р即BP⋅BQ=[x1x2-(x1+x2)+1]+[y1y2-2(y1+y2)+4],Р所以BP⋅BQ=[(2m+5)2-(4m2+4m+10)+1]+[-8m-20-2(4m)+4]=0,Р因此BP⊥BQ,Р即以线段PQ为直径的圆恒过点B(1,2).Р调研2 已知椭圆的离心率为,且椭圆过点,过点作两条相互垂直的直线,分别与椭圆交于四点.Р(1)求椭圆的标准方程;Р(2)若,探究:直线是否过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.Р【解析】(1)由题意知,Р所以椭圆的方程为.Р(2)因为,所以分别为的中点,Р当两直线的斜率都存在且不为0时,设直线的方程为,Р则直线的方程为设.Р联立,消去y得,Р,所以的中点的坐标为,Р同理,的中点的坐标为,所以,Р所以直线的方程为,Р即,所以直线过定点,Р当两直线的斜率分别为0和不存在时,则直线的方程为,也过点,
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