用Р图4是一个典型的夫琅和费开孔衍射布置图。其中A是开孔,可以是圆孔、矩孔、狭缝或其他形状孔,L是会聚透镜,F是开孔夫琅和费衍射的接收平面,也是透镜L的焦平面。设开孔受单位振幅的单色平面波垂直照射,那么通过开孔的光波的复振幅分布函数就是开孔函数(亦称光瞳函数),而F平面上的光强分布与开孔函数的傅氏变换的平方成正比,两者只差一个常数因子。众所周知,当开孔是一个圆孔时,F平面上的光强与一个一阶第一类贝赛尔函数的平方成正比,衍射图样为一个爱里斑,周围环绕着一些亮暗圆环形条纹。当圆孔为极大(相应地透镜L也极大),以致可把它视为无穷大时,衍射图样缩小为一点。这一物理过程,我们可以用δ函数把它确切地表示出来,事实上,当圆孔极大和相应地透镜L也极大时,平面波通过圆孔后的复振幅分布函数可视为1,即=1,Р而常数1的傅氏变换,Р正好表示当圆孔和透镜无穷大时衍射图样缩小为一点这一物理过程。Р 图4 夫琅和费开孔衍射布置图Р2.4 δ函数在量子力学中的应用Р2.4.1 δ函数在归一化问题中的应用Р量子力学中最常见的几个力学量是:位置,动量,角动量和能量,其中位置(坐标)和动量的取值(本征值)是连续变化的,角动量的本征值是分立的,而能量的本征值则兼而有之(视边界条件而定)。下面我们将看到,连续谱的本征函数是不能归一化的。Р以动量本征态为例。一维粒子的本征值为的本征函数(平面波) Р可以取中连续变化的一切实数值。不难看出,只要,Р,Р 即是不能归一化的。这结论是容易理解的,因为描述的状态下,几率密度为常数,即粒子在空间各点的相对几率是相同的。在范围中找到粒子的几率。只要,在全空间找到粒子的几率必定是无穷大。Р 为处理连续谱本征函数【8】的“归一化”,如在数学上不过分严格要求,引入Dirac的δ函数是十分方便的。由δ函数的定义可知:Р (1)Р Р或等价地表为:对于在邻域连续的任何函数,Р . (2)
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