是否存在直线,使得与交于两点,与只有一个公共点,且?证明你的结论.Р【答案】(1) (2)不存在Р【解析】Р试题分析:(1)利用正方形面积为2,即可得到对角线的长为2,则可得的两个顶点和的两个焦点的坐标,求的的值,再结合点在双曲线上,代入双曲线结合之间的关系即可求的的值,得到双曲线的方程,椭圆的焦点坐标已知,点在椭圆上,利用椭圆的定义即为到两焦点的距离之和,求出距离即可得到的值,利用之间的关系即可求出的值,得到椭圆的标准方程.Р(2)分以下两种情况讨论,当直线的斜率不存在时,直线与只有一个公共点,即直线经过的顶点,得到直线的方程,代入双曲线求的点的坐标验证是否符合等式,当直线的斜率存在时,直线的方程为,联立直线与双曲线消元得到二次方程,再利用根与系数之间的关系得到关于两点横纵坐标之和的表达式,利用出,再立直线与椭圆的方程即可得到直线的关系,可得到内积不可能等于0,进而得到,即,即不存在这样的直线.Р试题解析:的焦距为,由题可得,从而,因为点在双曲线上,所以,由椭圆的定义可得Р,于是根据椭圆之间的关系可得,所以的方程为.Р②当直线不垂直于轴时,即直线的斜率存在且设直线的方程为,联立直线与双曲线方程可得,当与相交于两点时,设,则满足方程,由根与系数的关系可得,于是,联立直线与椭圆可得Р,因为直线与椭圆只有一个交点,Р所以,化简可得,因此Р,Р于是,即,所以,Р综上不存在符合题目条件的直线.Р【考点定位】椭圆双曲线向量向量内积Р【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题;解决直线与圆锥曲线问题的通法:(1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程;(3)应用韦达定理及判别式;(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解;(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式: 或
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