交于C、D两点,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.Р(1)当|CD | = 时,求直线l的方程;Р(2)当点P异于A、B两点时,求证: 为定值。Р解:(1)略解:直线的方程为或Р (2)证法一:直线与轴垂直时与题意不符.Р 设直线的方程为所以点坐标为Р 设由(I)知Р 直线AC的方程为直线BD的方程为Р 将两直线方程联立,消去得Р 因为所以异号.Р Р Р 又Р 与异号,与同号,Р 解得Р 因此点坐标为Р Р 故为定值. Р证法二:设直线CD方程为:,与x轴交点为Р直线AC方程为:,直线BD方程为:Р得交点坐标Р故=Р由推论2,经过A,B,C,D四点的二次曲线方程可设为:Р与椭圆比较系数得Р,即代入==1(定值)Р【评注】:证法二抓住了问题的本质,故更简洁。РyРxРOРPРAРBР例5. (2011年全国高中联赛一试第11题)作斜率为的直线与椭圆:交于两点(如图所示),且在直线的左上方.Р(1)证明:△的内切圆的圆心在一条定直线上;Р(2)若,求△的面积.Р(1)证明:椭圆在处的切线为,即Р设AB直线为:即,直线PA,PB的斜率分别为,则Р所以经过P(点P视作二重点)、A、B的二次曲线方程为:Р整理得:Р Р与椭圆方程比较得: Р即直线PA,PB与x轴围成以为顶角的等腰三角形,所以的内角平分线垂直于x轴,即,故△的内切圆的圆心在定直线上。Р(2)略Р 【评注】:此题“缺损”能直接假设二次曲线系方程的条件,需构造点P处的切线,即将切线看作割线的特殊情况,切点即两点的重合,从而使其具备假设二次曲线系的条件,完成证明。这种对切线构造性想法正体现了创造性思维突破常规,推陈出新的特点。Р学生创造性思维的培养需要好的素材,就数学而言,好的素材来源于两个方面:一是数学分支学科间的交叉;二是引进高观点,更本质地审视问题。利用好这两方面,对培养学生数学思维的创造性是大有裨益的。
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