∴AD=CD=3,AB=7﹣1=6.∵y=x+b,当x=0时,y=b,当y=0时,x=﹣b,∴OP=|﹣b|,OQ=|b|,∴OP=OQ,∴∠NPB=∠OPQ=45°.过点C作CK⊥AB于K,∴BK=7﹣4=3,CK=AD=3,∴Rt△CKB为等腰直角三角形,∴∠CBO=45°.①当0≤t≤1时,∠NPB=∠PMA=∠DMN=∠DNM=45°,AP=AM=1﹣t,∴BQ=7﹣t,∴S=S△NBP﹣S△PMB=(7﹣t)×3﹣(1﹣t)(7﹣t),=(7﹣t)(2+t),=﹣t2+t+7②当1≤t≤7时,M与P重合,AP=AM=t﹣1,∵∠NPB=∠CBO=45°,∴△NPB是等腰直角三角形,过N作NE⊥AB于E,∴NE=PB=(7﹣t),∴S=×(7﹣t)×(7﹣t),=(7﹣t)2;(3)①当0≤t≤1时,S=﹣t2+t+7,=﹣(t﹣0.5)2+,∵a=﹣<0,∴抛物线的开口向下.∴在对称轴的左侧,S随t的增大而增大.∵对称轴为直线t=0.5,∴t=1时,S最大=9;②当1≤t≤7时,S=(t﹣7)2;∵a=>0,∴抛物线的开口向上.∴在对称轴的左侧,S随t的增大而减小.∵对称轴为直线t=7,∴t=1时,S最大=9,综上所述,t=1时,S最大=9;(4)由题意,得S梯形ABCD=(3+6)×3=.①当0≤t≤1时S=﹣(t﹣)2+=,解得:t=不符合0≤t≤1(舍去),②当1≤t≤7时,S=(t﹣7)2=,解得:t=7±3∵1≤t≤7,∴t=7﹣3.(5)当△POQ∽△PCB时,∴,如图1,在△CBK中,由勾股定理,得BC=3,∵OP=t,PQ=t,BP=7﹣t,∴,解得:t1=0(舍去),t2=1;当△POQ∽△CPB时,∴∠POQ=∠BPC=90°,∴CP⊥AB,∴PC=3,∴AP=3,∴OP=4,∴t=4.∴t=1,4时,△POQ与以P,B,C为顶点的三角形相似.
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