解析几何基本公式转化为代数等式,从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质,圆心和弦中点的连线垂直于弦,可得下面解法。Р图4-2-3РPРMРBРAРOРyРxР解法1 如图4-2-3,设弦的中点的坐标为,连接,Р则,在中,由两点间的距离公式和勾股定理有Р整理,得其中Р分析2 (定义法)根据题设条件,判断并确定轨迹的Р曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程。Р解法2 因为是的中点,所以,Р所以点的轨迹是以为直径的圆,圆心为,Р半径为该圆的方程为:Р化简,得其中Р分析3 (交轨法)将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点可看作直线与割线的交点,而由于它们的垂直关系,从而获得解法。Р解法3 设过点的割线的斜率为则过点的割线方程为:.Р?且过原点,的方程为这两条直线的交点就是Р点的轨迹。两方程相乘消去化简,得:其中Р分析4 (参数法)将动点坐标表示成某一中间变量(参数)的函数,再设法消去参数。由于动点随直线的斜率变化而发生变化,所以动点的坐标是直线斜率的函数,从而可得如下解法。Р解法4 设过点的割线方程为:Р它与圆的两个交点为,的中点为.Р解方程组Р利用韦达定理和中点坐标公式,可求得点的轨迹方程为:Р其中Р分析5 (代点法)根据曲线和方程的对应关系:点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求,代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点的坐标与两交点通过中点公式联系起来,又点构成4点共线的和谐关系,根据它们的斜率相等,可求得轨迹方程。Р解法5 设则Р两式相减,整理,得Р所以Р即为的斜率,而对斜率又可表示为Р化简并整理,得其中Р简评上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件,而解法4、5适用于一般的过定点且与二次曲线交于两点,求中点的轨迹问题。具有普遍意义,值得重视。对于解法5通常利用可较简捷地求出轨迹方程,比解法4计算量要小,要简捷得多。
全文预览
