就有:Р 即Р若,由已知条件易得即,显然也有.Р已知均为正实数,满足关系式,又为不小于的自然数,求证:Р思路分析由条件联想到勾股定理,可构成直角三角形的三边,进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。Р证明设所对的角分别为、、则是直角,为锐角,于是Р 且Р当时,有Р于是有Р即Р从而就有Р(3)问题转化的训练Р数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过:数学解题是命题的连续变换。可见,解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢?概括地讲,就是把复杂问题转化成简单问题,把抽象问题转化成具体问题,把未知问题转化成已知问题。在解题时,观察具体特征,联想有关问题之后,就要寻求转化关系。Р例如,已知,,Р求证、、三数中必有两个互为相反数。Р恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论,可以转化为:Р思维变通性的对立面是思维的保守性,即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后,往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式,使思维受到限制,它是提高思维变通性的极大的障碍,必须加以克服。Р综上所述,善于观察、善于联想、善于进行问题转化,是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性,必须作相应的思维训练。Р 转化成容易解决的明显题目Р 例11 已知求证、、中至少有一个等于1。Р思路分析结论没有用数学式子表示,很难直接证明。首先将结论用数学式子表示,转化成我们熟悉的形式。、、中至少有一个为1,也就是说中至少有一个为零,这样,问题就容易解决了。Р证明Р于是Р 中至少有一个为零,即、、中至少有一个为1。Р思维障碍很多学生只在已知条件上下功夫,左变右变,还是不知如何证明三者中至少有一个为1,其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子,把陌生问题变为熟悉问题。因此,多练习这种“翻译”,是提高转化能力的一种有效手段。
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