f'(x)= =3,x=-1,即切点为(-1,3),此时-b=6,由图可得-b>6,即b<-6时,两个函数图象有3个交点,综上可得,实数b的取值范围是(-∞,-6)∪ .4.若函数f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m所组成的集?合为 .答案{2}解析因为f(-x)=f(x),所以f(x)是R上的偶函数,所以函数f(x)的唯一零点只能?是0,即f(0)=m2+2m-8=0,解得m=2或-4.当m=2时,f(x)=x2-2cosx+2,f'(x)=2x+2sin?x>0,x∈(0,+∞),则f(x)在x∈(0,+∞)上递增,此时f(x)有唯一零点x=0;当m=-4时,f?(x)=x2+4cosx-4,有3个零点,不适合,舍去,故实数m的取值集合为{2}.题型一确定函数的零点个数例1 (2018高考数学模拟试卷(1))设k∈R,函数f(x)=lnx+x2-kx-1,求:(1)k=1时,不等式f(x)>-1的解集;(2)函数f(x)的单调递增区间;(3)函数f(x)在定义域内的零点个数.解析(1)k=1时,不等式f(x)>-1,即lnx+x2-x>0,设g(x)=lnx+x2-x,因为g'(x)= +2x-1= >0在定义域(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,所以f(x)>-1的解集为(1,+∞).(2)f'(x)= +2x-k= (x>0),由f'(x)≥0得2x2-kx+1≥0(*).(i)当Δ=k2-8≤0,即-2 ≤k≤2 时,(*)在R上恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞).(ii)当k>2 时,Δ=k2-8>0,此时方程2x2-kx+1=0的相异实根分别为x1= ,x2= ,因为 所以0<x1<x2,所以f'(x)≥0的解集为 ∪ ,故函数f(x)的单调递增区间为 和 .
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