大一高数导数的概念*例1直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动,已知路程s与时间t的试确定t0时的瞬时速度v(t0).一、引例关系这段时间内的平均速度在每个时刻的速度.解若运动是匀速的,平均速度就等于质点质点走过的路程,00tttD+®从时刻*它越近似的定义为并称之为t0时的瞬时速度v(t0).若运动是非匀速的,平均速度是这段时间内运动快慢的平均值,越小,表明t0时运动的快慢.因此,人们把t0时的速度0lim®Dt此式既是它的定义式,又指明了它的计算瞬时速度是路程对时间的变化率.注方法,*处切线的斜率.已知曲线的方程确定点如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,C在点M处的切线.如图,割线的极限位置——切线位置.例2曲线在一点的切线问题*割线MN的斜率为切线MT的斜率为0limxx®*就其实际意义来说各不相同,关系上确有如下的共性:但在数量上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题,1.在问题提法上,都是已知一个函数求y关于x在x0处的变化率.2.计算方法上,(1)当y随x均匀变化时,用除法.(2)当变化是非均匀时,需作平均变化率的极限运算:*定义函数与自平均变化率.二、导数的定义*存在,平均变化率的极限:(derivative)或有导数.则称此极限值为或可用下列记号处不可导或导数不存在.当极限(1)式不存在时,就说函数f(x)在x0*注:当(1)式的极限为有时也说在x0处导数是正(负)无穷大,正(负)无穷时,但这时导数不存在.*注导数定义可以写成多种形式:或特别,
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