高中数学课件椭圆的定义

椭圆的定义Р一椭圆的定义Р在平面内,到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距。Р二椭圆的标准方程Р设M(x, y)是椭圆是上任意一点,椭圆的焦距为2c (c>0),则建立直角坐标系,使F1、F2的坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0),若M点与F1、F2两点的距离的和等于2a (a>c>0),则|MF1|+|MF2|=2a,即Р将这个方程移项,两边平方,得Р两边再平方,得?a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,?整理得?(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),Р由椭圆定义可知,2a>2c, 即a>c,?∴ a2-c2>0,?设b2=a2-c2 (b>0), 得?b2x2+a2y2=a2b2,?两边除以a2b2得Р例一. 平面内两个定点的距离是8, 写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程.?解: 这个轨迹是一个椭圆, 两个定点是焦点,用F1, F2表示, 取过点F1和F2的直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴,? ∵ 2a=10, 2c=8,? ∴ a=5, c=4, ? b2=a2-c2=9, b=3,Р因此,这个椭圆的标准方程是Р即Р例二. 已知△ABC的周长为16,其中A(-3, 0), B(3, 0), 求顶点C的轨迹方程。?解:∵|CA|+|CB|+|AB|=16,且|AB|=6,? ∴|CA|+|CB|=10,? 即点C到A、B两点的距离的和等于常数10,? ∴ C点的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆,Р在椭圆中,c=3, 2a=10, a=5,? ∴ b=4, ?∴点C的轨迹方程是Р例三. 设椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,且焦点到椭圆长轴端点的最短距离是3,求此椭圆的方程。