函数的左连续性保证了 F 在不连续点上的值完全由它在连续点集 CF 上的值唯一确定,因此此时分布函数列的弱收敛极限是唯一的.Р引理. 设是实变量x 的非降函数序列,D是R上的稠密集. 若对于D中的所有点, 序列收敛于F(x),Р则对F(x)的一切连续点 x 有Р以下我们研究一个分布函数序列弱收敛到一个分布函数的充要条件,为此先建立一些重要的分析结果。Р下面是海莱(Helly)得到的两个重要定理。Р定理 5.2.1 (海莱第一定理)Р任一一致有界的非降函数列中必有一子序列Р弱收敛于某一有界的非降函数.Р注:证明用对角线法。Р定理 5.2.2 (海莱第二定理)Р设f(x)是[a,b]上的连续函数,又是在[a,b]上弱收敛于函数F(x)的一致有界非降函数序列,且a 和b是F(x)的连续点,则Р设在上有界连续,又是上弱收敛于函数的一致有界非降函数序列,且Р则Р定理 5.2.3 (推广的海莱第二定理)Р下面我们将导出一个分布函数列弱收敛到一个极限分布的充要条件。这个结果同时说明了存在于分布函数和特征函数之间的对应是连续的,这个性质对于特征函数成为研究极限定理的主要工具有基本的重要性。Р二、连续性定理(Levy-Cramer)Р定理5.2.4(正极限定理)Р设分布函数列弱收敛于某一分布函数F(x),则相应的特征函数列收敛于特征函数 f(t),且在t 的任一有限区间内收敛是一致的。Р定理2(逆极限定理)Р设特征函数列收敛于某一函数f(t) ,且f(t)在 t = 0连续,则相应的分布函数列弱收敛于某一分布函数 F(x) ,而f(t)是F(x)的特征函数。Р连续性定理(Levy-Cramer)?分布函数列 Fn(x) 弱收敛到某一个分布函数 F (x) ,当且仅当Fn(x) 对应的特征函数列 fn(t) 在任意有限区间内一致收敛到某个函数 f (t)。Р通常把正逆极限定理合称为连续性定理。
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