概率论基础 复旦大学 李贤平 第三版

对象为1,2,3,则它们的所有置换操作为:a=(1,2,3)b=(1,3,2)c=(1,2)d=(2,3)ef=(1,3)其对应的乘法为依次执行其置换操作。所以有群??fedcba,,,,,由3s定义可知:3s是3个对象的所有置换集所形成的6阶群。所以群??fedcba,,,,,为3s群。设群??FEDCBAD,,,,,3?则存在一个对应关系使得A=aФ,B=bФ,…….F=fФ。则由3D群以及3s群的定义可知有:对于任意的元素x,y属于3s有(xy)Ф=(xФ)(yФ)(这便是说3D,3s有着结构相似的乘法表),因此,3D,3s是同构的。Problem3.Showthatthesetofnon-plexnumbers,undertheusualmultiplication,isagroup.第三题解:设集合A=???ipe其中0?p,包含了复平面中的所有非0负数。则可知:(1)对于任意x,y属于A,有xy=z也属于A;(2)对于任意x,y,z属于A,有(xy)z=x(yz);(3)存在单位元1属于A,使得对于任意x属于A,有x1=x;(4)对于A中任意元素x=1?iep都有)(111????iepx使得11??xx因此A为一个群。Problem4.Showthateverysubgroupofacyclicgroupiscyclic.第四题解:设群A=??132......,,,1?mxxxx为循环群,则有1?mx。设群B为群A的子群则有:B=??rjknkkkkxxxxx?,...,,,132其中j为小于n的整数,r为小于k的整数,且j≥1.则kx为其中的最小元。假设r≠0则有rjkrjkpxxxx???,则有1)(??jkprxxx属于群B。又因为r<k,所以rx为最小元与已知矛盾,所以原假设错误,r必为0。所以群B=??nkkkkxxxx...,,,132为循环群。