2014 ·枣庄]如图 Z13 -2,A为⊙O外一点, AB 切⊙O于点 B, AO 交⊙O于C, CD ⊥ OB 于E,交⊙O于点 D, 连接 OD ,若 AB =12, AC =8. (1) 求 OD 的长; (2) 求 CD 的长. 图 Z13 -2 解: (1) ∵ AB 切⊙O于点 B,∴ AB ⊥ OB , ∴△ OBA 是直角三角形, 又∵ AB =12, AC =8, 由勾股定理得 OB 2+ AB 2= OA 2,即 OD 2+12 2=( OD + 8) 2,解得 OD =5. (2) ∵ CD ⊥ OB , AB ⊥ OB ,∴ EC ∥ AB , 2. [2014 ·东营]如图 Z13 -3, AB 是⊙O的直径, OD 垂直于弦 AC 于点 E,且交⊙O于点 D,F是为 BA 延长线上一点,若∠ CDB =∠ BF D. 求证: (1) FD 是⊙O的一条切线; (2) 若 AB =10, AC =8,求 DF 的长. 图 Z13 -3 解: (1) 证明: ∵∠ CDB =∠ BFD , ∠ CDB =∠ CAB , ∴∠ BFD =∠ CAB , ∴ FD ∥ AC .又∵ OD 垂直于弦 AC , ∴ OD ⊥ FD , ∴ FD 是⊙O的一条切线. (2) ∵ AB 是⊙O的直径, AB =10, ∴∠ ACB =90°,半径 OA = OB = OD =5. 在 Rt △ ABC 中, AB =10, AC =8, 由勾股定理得 BC =6. ∵ OD ⊥ AC , 3. [2013 ·黄冈]如图 Z13 -4, AB 为⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD 和过 C点的直线互相垂直,垂足为 D,且 AC 平分∠ DAB . (1) 求证: DC 为⊙O的切线; (2) 若⊙O的半径为 3, AD =4,求 AC 的长. 图 Z13 -4
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