与椭圆的弦的中点有关的问题,称为椭圆的中点弦问题。 1一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过点 A(2,1)的直线与椭圆相交于 P、Q两点,若点 A恰好是线段 PQ 的中点,求直线 PQ 的方程。 2 2 1 16 9 x y ? ?方法一:解方程组方法一:点差法 2若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 A(x 1 ,y 1)、 B(x 2 ,y 2 ) ,将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差,得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 3二、过定点的弦的中点坐标和中点轨迹例2、已知椭圆的一条弦的斜率为 3,它与直线的交点恰为这条弦的中点 M,求点 M 的坐标。 125 75 22?? xy2 1?x 4例3: 已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 125 75 22?? xy注意:弦中点的轨迹应在曲线内 5三、求与中点弦有关的椭圆的方程例4、已知中心在原点,一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为, 求椭圆的方程。(0, 5 2 ) F 23:??xyl2 1 67
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