长分别等于和;Р(3) 、的几何意义:是长半轴的长,是短半轴的长.Р4.离心率:Р椭圆的焦距与长轴长的比,叫做椭圆的离心率.Р说明:(1)因为所以.Р(2)越接近,则越接近,从而越小,因此椭圆越扁;Р反之,越接近于,越接近于,从而越接近于,这时椭圆就接近于圆;Р(3)当且仅当时,,这时两焦点重合,图形变为圆,但本教材规定圆与椭圆是不同的曲线,有些书将圆看成特殊的椭圆;Р(4)试让学生通过探究的大小变化来发现"扁"的程度.Р四.数学运用Р1.例题:Р例1.求椭圆的长轴长,短轴长,离心率,焦点和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.Р分析:由椭圆的标准方程可知,,则椭圆位于四条直线,所围成的矩形内.又椭圆以两坐标轴为对称轴,所以只要画出第一象限的图形就可以画出整个图象.Р解:根据椭圆的方程,得,,.因此,长轴长,短轴.Р焦点为和,顶点为,,,.Р离心率.Р将方程变形为,根据算出椭圆在第一象限的几个点的坐标:Р说明:①本题在画图时,利用了椭圆的对称性,利用图形的几何性质,可以简化画图过程,保证图形的准确性. Р②根据椭圆的几何性质,用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图:以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形;由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点;用曲线将四个顶点连成一个椭圆,画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性.Р例2.求符合下列条件的椭圆标准方程:Р(1)焦距为,离心率为.Р(2)焦点与长轴较接近的端点的距离为,焦点与短轴两端点的连线互相垂直.Р解:(1)由题意:因为,所以;又因为,所以,所以,Р焦点在轴上时椭圆标准方程:;焦点在轴上时椭圆标准方程:.Р(2)由题意:,,,所以解得,,Р焦点在轴上时椭圆标准方程:;焦点在轴上时椭圆标准方程:.Р五.回顾小结:Р1.椭圆的基本几何性质:范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率;Р2.椭圆标准方程中、、、的几何意义及相互关系.
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