1)求证:存在,使得Р; (*)Р(2)求出使不等式(*)成立的最小正数;并给予证明.Р解: (1)由的定义知,,,. 将这三个不等Р式相加,得Р,Р即,故可取. 10分Р(2)不妨设.Р若,则,且. 因此,Р,Р即. 25分Р若,则,且. 因此,Р,Р故此时也有. 40分Р为了证明,我们取,则,此时有Р.Р由此可见,对于任意正数,有Р.Р故只要,上式右边就. 因此必有. 综上两个方面所Р述,可知满足(*)的最小正数为. 50分Р注. 仅给出得5分. Р3. 已知个四元集合,每两个有且只有一个公共元,并且有РCard,Р试求的最大值. 这里Card为集合中元素的个数.Р解: 考虑任一元,如果每个均含有,则由条件知,各Р中的其他元素都不相同,故РCard,Р与已知条件相违. -----------------------------------------------10分Р因此,必有一个不含. 不妨设. 若含的集合个,那么,由已知条件Р得知,与这个集合各有一个的公共元(此元当然不等于),而且这个元互不相同Р(若有相同的,则这个公共元是两个含的集合的公共元,于是这两个集合就有两个公共元,Р又与已知条件相违),从而Card,矛盾. 所以含的集合个.Р另一方面,因为РCardCardCard, Р所以每个元恰好属于个集. ------------------------------25分Р不妨设含有元的集合为,,,,则由上述的结论可知,РCard.Р如果,那么存在元. 设含的集合为,则不是,,Р,,因而不含. 而与,,,各有一个公共元(当然不是),这Р个公共元互不相同(理由同上),又都不是,从而Card,矛盾. Р因此. ------------------------------40分Р是可能的,例如,不难验证,如下个集:Р,,,,,,,,,,,,符合要Р求. Р故的最大值为.
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