n. Р ----,;--Р I 11 I Р 设A是{I,2, · n元子, 集m}的. 证明:区间Io.一一|中的每个整数均可表示为Р k-l} Р ’’Р a-a,其中。,。EA.Р ’Р 证明:用反证法.假设存在整数 el0. __!!._ ]不可表示为。- , EA.作Р x \ k-l} a aa' Р 带余除法,n =λq+r,其中O三,.<;,; 将 l, 2.,...·111按筷工的同余类划分成x个公差Р 为 X的等差数列,其中r个等差数列有q+I琐,x-r个等主主数列有q项. 由于AР 中没有两数之差为x, 故A不能包含以x为公差的等差数列的相邻两项.从而Р q+I Р x-- 2f q, Р 2Р n AР 斗 J r午十(x-r{{l= Р r (/ Р λ·-+,二’Р 2 2lq, Р 这里「α1表示不小子α的最小整数. …20分Р 由条件,我们有Р 11> _!__,,, =_!__(xq +r). @Р 2k-1 2k-1 Р 又x十剖,故Р n> (k-I)x. ③Р 1肯形一:q是奇数,则由①知,Р @Р 综合②,@可知, 主> 一( ÷ 主)_!__ ,从而再出qР x-1土!2 n 2k-lxq r 2k-lxq q<2k-l.Р 是奇数可知, q王2k-3, 于是Р .q+I Р 白-2 豆<k-t)x,Р 与③矛盾.Р 情形二:q是偶数.则由①知,Р n主X·旦+r. @Р 2 Р , , X· +, .!_Р结合②⑤雨’知旦.主n>_!i_(xq+r ) ,从而一二L<土二 r< 二坠,Р 2k-l 2(2k-l)2/i-l 2k-l Р故 q<2(k-l). 再由 q是偶数可知, q$2k-4, 于是Р 11主x·f+r$ (k -2)川<(k-l)x,Р 与③矛盾.Р 综上可知,反证法假设不成立,结论获iil:. …50分
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