,0)(c>0),由£发出的光经椭圆两次反射后回到£\r经过的路程为芈c.利用椭圆的光学性质解决以下问题:\rO***************\r(1)求椭圆。的离心率;\r⑵点尸是椭圆c上除顶点外的任意一点,椭圆在点尸处的切线为/,人在/上的射影〃在圆\r/+7=4上,求椭圆。的方程.\r【解题指南】(1)由己知,若椭圆。的长轴长为2ag>0),则4。=华c,即可求离心率.\r(2)方法一:延长£,,EP交于点用易得I网I=\PF0\,且,为K芯中点,由中位线的性\r质及点在圆上求椭圆参数a,即得椭圆方程.\r方法二:设。在/上的射影分别为儿Hn,连接阳,PF»OH,由反射性质设N耳%=。\r2\r则N£,=a,即得削=2acosa,M=asina,根据就="求椭圆参数a,写\r出椭圆方程.\r【解析】(1)设椭圆C的长轴长为2a(a〉0),\r由已知,£发出的光经椭圆两次反射后回到£经过的路程为4口=芈c,所以e=£.\r3az\r(2)方法一:如图,\r延长£〃,FP交于点A,\r在△臣片中,PH1FE,/&PH=LRPH,则|你|=|阳|,且,为£入中点,\r在△££月中,掰=;,6|=j(|/^|+|/^|)=!(〔仍|+|〃|)\r则I%I+|9|=4=2a,\r所以才=4,8=\,即椭圆方程为?+/=1.\r方法二:设£,。在/上的射影分别为外瓜,连接加,PR,OH,如图:\r设/F、PH\=a,则N£)=a,\r在RtZsE〃尸中,FM=PRsina,PH产PF、cosa,同理,F2H=PF2sina,PH=PF2cosa,\rO+O(PF\+PF)sinQ\r所以HH\=H、P+HP=(PF\+PF)cosa=2acosaOHi-z-z\r222\rasina,因为羽=附+"〃=(asino)+f~•cos=<3=4,\rY2\r所以椭圆方程为彳+/=1.
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