一:.\r答案:一:\r5.设/1(才)=loga(l+x)+loga(3—才)(a>0,且a#l),且/'(1)=2.\r(1)求实数a的值及F(x)的定义域;\r-Q-\r⑵求/'(X)在区间0,5上的最大值.\r乙\r【解析】(1)因为/'(1)=2,所以log“4=2(a>0,且aWl),所以a=2.\rl+x>0,\r由'得一l<x<3,\r13—x>0,\r所以函数/1(x)的定义域为(-1,3).\r(2)f(x)=log2(l+x)+log2(3—x)\r=log2[(l+%)(3—x)]=log2[—(x—1尸+4],\r所以当xe(-l,1]时,/'(x)是增函数;\r当*6(1,3)时,f(x)是减函数,\r3\r故函数f(x)在0,2上的最大值是f(l)=logM=2.\r6.(2021•龙岩模拟)已知函数f(x)=av+log.x\r(a>0,aWl)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6+log2\r⑴求实数a的值;\r⑵对于任意的[2,+8),不等式A/(X)—i2o恒成立,求实数A的取值范围.\r【解析】⑴因为函数y=a',y=log,x(a>0,aWl)在[1,2]上的单调性相同,所以函数\rf(x)=a*+log,x(a>0,aWl)在[1,21上是单调函数,所以函数f(x)在[1,21上的\r最大值与最小值之和为a+a24-log,2=6+log,2,所以<3?+a—6=0,解得a=2和a=-3(舍),\r所以实数a的值为2.\r(2)由⑴得f(x)=2'+log2%因为对于任意的xw[2,+°°),不等式a(x)—120恒\r成立,所以对于任意的[2,+8),左力志恒成立,\r当xe[2,+8)时,y(x)=27iog2矛为单调递增函数,所以f(x)2f(2)=5,所以\r-1\r天万,即在N:,所以实数力的取值范围为-+8\r-5J
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