大奖。三赌徒输光问题分析曾经有一个著名的数学问题:设袋中有a个白子b个黑子。甲、乙两个两人分别拥有n元、m元,他们不知道袋中那种颜色的子多。他们约定:每次有放回的从袋中摸1个子,如果摸到白子甲给乙1元,如果摸到黑子乙给甲1元,知道两人中间有一人输光为止。求甲输光的概率。这就是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题,也叫作赌徒输光问题。对此,数学家们给出了求解与证明:由题可知,甲赢一元的概率为,输1元的概率为,设表示输t次(摸t次)后甲的赌金,为甲输光的概率,,即表示最终摸球的次数。如果,则令。设A=“第一局(次)甲赢”,则,且在第一局甲输的条件下(因甲有n+1元)甲最终输光的概率为,在第一局甲赢得条件下(因甲有n+1元)甲最终输光的概率为,由全概率公式,得齐次一元二阶常系数差分方程与界条件与解具有边界条件(3.3.2)和差分方程(3.3.1)两种方法,现分别具体介绍如下。解法1令,由(3.3.1)得关于的代数方程(i)当时,方程(3.3.3)有两个解,故方程(3.3.1)有两个特解:1与,从而方程(3.3.1)的通解为由边界条件(3.3.2)得故得(ii)当时,方程(3.3.3)有两个相等的解,故方程(3.3.1)有通解,再由边界条件(3.3.2)得从而得综合(i)与(ii)得解法2(i)当时,由方程(3.3.1)得又因所以从而由(3.3.5)得(ii)当时,由方程(3.3.1)得又因所以,从而从而,得到(3.3.4)。如果乙有无穷多赌金,则甲最终输光的概率为由式(3.3.6)知,如果赌徒只有有限的赌金,而其对手有无限的赌金,当其每局赢得概率即时,故最终他肯定(依概率1)输光。即使,他也以正的概率输光,只不过他最初的赌金n(元)越大输光的概率就越小。然而一个赌徒面临的对手是各个可能的赌场,他的赌金跟各个可能的赌场拥有的赌金比起来都是微不足道的,而且每局他都是占不到便宜,即一般是
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