浅谈对称性在概率论中的应用

一名乘客的位置上”与其“对号入座”这两个随机事件是对称的,且他可能坐在这两个位置中的一个,因此,他能够对号入座的概率为 1/2。此例也可通过其他方法求解,但计算量较大,对于其他求解方法以及更为严谨的求解过程,可参见[5]。在概率论中,关于连续型随机变量的一些结果可以表示成积分形式,对于某些特定的问题,利用积分的对称性,可以很便捷的得到相应的结果。例 3设随机变量(x,y)的概率密度为f (x,y)=4xy,0<x<1,0<y<1;0, 其他嗓求P{X≥Y}。解:易知,注意到在这两个二重积分中,被积函数中的两个变量与对称,积分区域(除去边界)关于直线 y=x 对称,故有,又,因此。连续型随机变量的数学期望,方差等结果也都可以表示成积分的形式,已有大量的文献举例说明了对称性在求解这类问题中的应用,其实质是在利用积分的各种对称性,在此就不再赘述了。2 结语通过以上几个例子简要介绍了对称性在求解概率问题中的应用,借助于对称性,可以将这些问题简化。但是,特别需要注意的是,在利用对称性求解问题时,要确保相应的问题中,对称性是确实满足的。[参考文献][1] Sheldon Ross.概率论基础教程.第七版.北京:人民邮电出版社,2008.[2] 李贤平.概率论基础.北京:高等教育出版社,2006.[3] 茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程.北京:高等教育出版社,2004.[4] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计.北京:高等教育出版社,2011.[5] Anubav Vasudevan.Symmetry and Probability.Columbia University,2012.[6] Hermann Weyl. Symmetry. 冯承天,陆继宗译.对称.上海:上海科技教育出版社,2002.[7] 魏宗舒.概率论与数理统计教程.北京:高等教育出版社,2008.126