与圆有关的实际应用题中,有些时候,在条件中没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题目中的,要通过分析和转化,发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识来求解,如本例,需通过条件到两个定点A,B的距离之比为定值3来确定动点(拦截点)的轨迹是圆.(2)与直线和圆有关的实际应用题一般都可以转化为直线与圆的位置关系或者转化为直线和圆中的最值问题.[演练冲关]如图,半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图,半径OA的长为1百米.为了保护景点,基地管理部门从道路l上选取一点C,修建参观线路C-D-E-F,且CD,DE,EF均与半圆相切,四边形CDEF是等腰梯形.设DE=t百米,记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元,经测算f(t)=(1)用t表示线段EF的长;(2)求修建该参观线路的最低费用.解:(1)法一:设DE与半圆相切于点Q,则由四边形CDEF是等腰梯形知OQ⊥l,DQ=QE,以OF所在直线为x轴,OQ所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.由题意得,点E的坐标为,设直线EF的方程为y-1=k(k<0),即kx-y+1-tk=0.因为直线EF与半圆相切,所以圆心O到直线EF的距离为=1,解得k=.代入y-1=k可得,点F的坐标为.所以EF==+,即EF=+(0<t<2).法二:设EF切圆O于点G,连结OG,过点E作EH⊥AB,垂足为H.因为EH=OG,∠OFG=∠EFH,∠GOF=∠HEF,所以Rt△EHF≌Rt△OGF,所以HF=FG=EF-t.由EF2=1+HF2=1+2,解得EF=+(0<t<2).答:EF的长为百米.(2)设修建该参观线路的费用为y万元.①当0<t≤时,y=5=5,由y′=5<0,得y在上单调递减.所以当t=时,y取最小值为32.5.②当<t<2时,y==12t+--,所以y′=12-+=,因为<t<2,所以3t2+3t-1>0,
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