直线与双曲线的位置关系

y(p>0)上.羅(1)求抛物线E的方程;螃(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.蒀[自主解答] (1)依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.莇设B(x,y),则x=|OB|sin30°=4,y=|OB|cos30°=12.肃因为点B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p×12,解得p=2.膂故抛物线E的方程为x2=4y.膁(2)证明:由(1)知y=x2,y′=x.莈设P(x0,y0),则x0≠0,y0=x,且l的方程为莆y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x.蚁由得羁所以Q为.膅设M(0,y1),令·=0对满足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立.薄由于=(x0,y0-y1),=,肁由·=0,得-y0-y0y1+y1+y=0,蒈即(y+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)芇由于(*)式对满足y0=x(x0≠0)的y0恒成立,蚂所以解得y1=1.蒀故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).膈练习3:(2012·泉州模拟)如图,点O为坐标原点,直线l经过抛物线C:y2=4x的焦点F.(1)若点O到直线l的距离为,求直线l的方程;芈(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点.点B是以点F为圆心,|FA|为半径的圆与x轴的交点,试判断AB与抛物线C的位置关系,并给出证明.羅解:(1)抛物线的焦点F(1,0),膃当直线l的斜率不存在时,即x=1不符合题意.袈当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y=k(x-1),即kx-y-k=0.肆所以,=,解得k=±.膃故直线l的方程为:y=±(x-1),即x±y-1=0.薃(2)直线AB与抛物线相切,证明如下:虿设A(x0,y0),则y=4x0.膇因为|BF|=|AF|=x0+1,所以B(-x0,0).蒅所以直线AB的方程为:y=(x+x0),