F是菱形,则BD⊥EF.Р∵在△ABC中,∠BAC=90°,Р∴BC2=AB2+AC2,Р∵AB=1,BC=,∴由勾股定理得,AC==2,∵四边形ABCD是平行四边形,Р∴OA=AC=×2=1,Р∵在△AOB中,AB=AO=1,∠BAO=90°,Р∴∠AOB=45°,∵EF⊥BD,∴∠BOF=90°,Р∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=90°-45°=45°,Р即:旋转角为45°.Р证明:∵四边形ABCD是矩形,Р∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠FAC=∠ACE,∠BAC=∠DCA。Р由折叠可得∠BAE=∠EAC=∠BAC,∠DCF=∠NCF=∠DCA,Р∴∠EAC=∠FCA。Р又∵AC=CA,Р∴△CAE△ACF,Р∴CE=AF。Р即四边形AECF是平行四边形。Р(2)∵AB=6,AC=10,Р由勾股定理,得BC=8.设EM=x,Р∴BE=EM=x,∴CE=BC-BE=8-x,CM=AC-AM=AC-AB=10-6=4.Р在Rt△CEM中,由勾股定理,得EM2+CM2=CE2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3。Р∴四边形AECF的面积=2△ACE的面积=2×AC×EM=30.Р解:(1)证明:连接BD.∵点E,H分别是边AB,CD的中点,Р∴EH∥BD,EH=BD.Р同理,FG∥BD,FG=BD.Р∴EH∥FG,EH=FG,∴中点四边形EFGH是平行四边形.Р(2)四边形EFGH是菱形.Р证明:连接AC,BD.Р∵∠APB=∠CPD,∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠APC=∠BPD.Р又∵PA=PB,PD=PC,∴△APC≌△BPD.∴AC=BD.Р∵点E,F,G分别是边AB,BC,CD的中点,∴EF=AC,FG=BD,∴EF=FG.Р又∵EFGH是平行四边形,∴中点四边形EFGH是菱形.Р(3)当∠APB=∠CPD=90°时,中点四边形EFGH是正方形.
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