将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?Р解析:从5个球中取出2个与盒子对号有种,还剩下3个球与3个盒子序号不能对应,利用枚举法分析,如果剩下3,4,5号球与3,4,5号盒子时,3号球不能装入3号盒子,当3号球装入4号盒子时,4,5号球只有1种装法,3号球装入5号盒子时,4,5号球也只有1种装法,所以剩下三球只有2种装法,因此总共装法数为种.Р杂的排列组合问题也可用分解与合成法:Р例1)30030能被多少个不同偶数整除?Р解析:先把30030分解成质因数的形式:30030=2×3×5×7×11×13;依题意偶因数2必取,3,5,7,11,13这5个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因数为Р个.Р(2)正方体8个顶点可连成多少队异面直线?Р解析:因为四面体中仅有3对异面直线,可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体,从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个,所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.Р21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.Р例21.(1)圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个?Р解析:因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形,显然有个,所以圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.Р(2)某城市的街区有12个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从到的最短路径有多少种?РAРBР解析:可将图中矩形的一边叫一小段,从到最短路线必须走7小段,其中:向东4段,向北3段;而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走过4段的走法,便能确定路径,因此不同走法有种.
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