是以为周期的函数(即),且在闭区间上连续可积,那么2.二重积分的六大对称性如果积分区域具有轴或点对称(令表示的一半区域,即中对应部分,余类推),被积函数同时具有奇偶性,那么,二重积分的计算可以得到不同程度的简化,这一技巧在研考数学中每年都必出题,务必理解记住下列6类对称性定理。关于轴对称(关于轴对称类推)②关于都对称③关于原点对称④当和关于某一直线对称,对同一被积函数,则⑤关于轴对称⑥万能轮换对称性●轮换对称性描述如果将与及交换,即,,后,积分区域方程不变,则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等,这个性质在二重积分,三重积分,曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。●轮换对称性实例3.二重积分的换元公式.设在上连续,在平面上的某区域上具有连续的一阶偏导数且雅可比行列式,对应于平面上的区域,则.4.三重积分的对称性:⑴若关于面对称,①若则,②若则:⑵若关于面对称,①若则,②若则:⑶若关于面对称,①若则,②若则:5.三重积分换元法1)球坐标系代换:,,即=适用于积分公式或被积函数是型.2)柱坐标代换:,,,即三重积分的柱坐标换元公式为:=,适用于型被积函数或积分区域6.高斯公式定理设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数,则有公式:或这里是由的整个边界边界曲面的外侧构成,为上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.二、常考例题讲解一元积分中用方程、变限积分求导等来解题设是连续函数,且满足,则____________.已知,求设是连续函数,且满足,求分段函数与含有绝对值号的定积分计算中,若被积函数为分段函数,先以分段点将积分区间分为若干个子区间,再利用可加性分段求解;若被积函数为绝对值函数,先令绝对值为零,求出根,并由此将积分区间分成若干段,再逐段求解.(有时需要适当的做变量替换)
全文预览
