,故Р在上严格单调减。因此Р即Р,Р又Р,Р,Р所以,当时, 与等价的无穷大量是。Р2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷Р(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)Р一、(25分,每小题5分)Р(1)设其中求Р(2)求。Р(3)设,求。Р(4)设函数有二阶连续导数,,求。Р(5)求直线与直线的距离。Р解:(1)=Р===Р(2) Р令x=1/t,则Р原式=Р(3)Р二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且Р且存在一点,使得。Р证明:方程在恰有两个实根。Р解: 二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为f(x)有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值。Р将f(x)二阶泰勒展开:Р因为二阶倒数大于0,所以Р ,Р证明完成。Р三、(15分)设函数由参数方程所确定,其中具有二阶导数,曲线与在出相切,求函数。Р解:(这儿少了一个条件)由与在出相切得Р,Р=。。。Р上式可以得到一个微分方程,求解即可。Р四、(15分)设证明:Р(1)当时,级数收敛;Р(2)当且时,级数发散。Р解:Р(1)>0, 单调递增Р当收敛时,,而收敛,所以收敛;Р当发散时,Р所以,Р而,收敛于k。Р所以,收敛。Р(2)Р所以发散,所以存在,使得Р于是,Р依此类推,可得存在Р使得成立,所以Р当时,,所以发散Р五、(15分)设是过原点、方向为,(其中的直线,均匀椭球Р,其中(密度为1)绕旋转。Р(1)求其转动惯量;Р(2)求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。Р解:Р(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离Р由轮换对称性,Р(2)Р当时,Р当时,Р六、(15分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数。Р(1)设为正向闭曲线证明Р(2)求函数;Р(3)设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求。
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