知,,于是下面求级数的和:令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令,得,因此级数的和八、(10分)求时,与等价的无穷大量.解令,则因当,时,,故在上严格单调减。因此即,又,,所以,当时,与等价的无穷大量是。20XX年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)一、(25分,每小题5分)(1)设其中求(2)求。(3)设,求。(4)设函数有二阶连续导数,,求。(5)求直线与直线的距离。解:(1)====(2)令x=1/t,则原式=(3)二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且且存在一点,使得。证明:方程在恰有两个实根。解:二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为f(x)有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值。将f(x)二阶泰勒展开:因为二阶倒数大于0,所以,证明完成。三、(15分)设函数由参数方程所确定,其中具有二阶导数,曲线与在出相切,求函数。解:(这儿少了一个条件)由与在出相切得,=。。。上式可以得到一个微分方程,求解即可。四、(15分)设证明:(1)当时,级数收敛;(2)当且时,级数发散。解:(1)>0,单调递增当收敛时,,而收敛,所以收敛;当发散时,所以,而,收敛于k。所以,收敛。(2)所以发散,所以存在,使得于是,依此类推,可得存在使得成立,所以当时,,所以发散五、(15分)设是过原点、方向为,(其中的直线,均匀椭球,其中(密度为1)绕旋转。(1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。解:(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离由轮换对称性,(2)当时,当时,六、(15分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数。(1)设为正向闭曲线证明(2)求函数;(3)设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求。
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