离最小,则AB必过圆心O.(否则,连接OB、OA,设OA交圆于点N,则+NA=OA<OB+AB=+AB,即NA<BA,与AB最小矛盾.所以,只需求出圆心O到抛物线上点的最短距离即可.)在抛物线上任取一点M(x,y),则?由于.所以,(等号当且仅当时取得).所以,上述最短距离为.解法二:用纯代数的方法去思考.设为抛物线上任意点,为圆上任意点,则F1OF2xQByP?等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为和时取得.?点评:方法二需要较强的代数变形的能力,充分运用图形的几何性质可以使得问题简化.例3.已知双曲线和椭圆有相同的焦点和,两曲线在第一象限内的交点为P.椭圆与y轴负半轴交于点B,且三点共线,分有向线段的比为1:2,又直线与双曲线的另一交点为,若.(Ⅰ)求椭圆的离心率(Ⅱ)求双曲线和椭圆的方程.讲解:(Ⅰ)要求椭圆的离心率,可以先只考虑与椭圆有关的条件.注意到:三点共线,且分有向线段的比为1:2.所以,若设椭圆的方程为:,则点P的坐标为.代入椭圆方程,可解得椭圆的离心率.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得椭圆的方程为:,点P的坐标为.直线PB的方程为:设双曲线的方程为:,则.∵在双曲线上,∴化简得:.故.将直线PB的方程代入双曲线方程,消去y,得:.解得.从而.∴椭圆方程为,双曲线方程为.点评:解答本题,最大的问题在于:所给条件杂乱无序,不知从何入手.为此,应该理清头绪,层层递进,分步解答.高考真题1.(1988年全国高考题)直线L的方程,其中;椭圆的中心为,焦点在x轴上,长半轴长为2,短半轴长为1,它的一个顶点为.问:p在那个范围内取值时,椭圆上有四个不同的点,他们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离.2.(全国高考题)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率,已知点到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.[答案与提示:1.;2.]
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