程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移Р变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键.Р虽然讨论的是离散动力系统,但特征值和特征向量出现的背景要广泛的多,还被用来研究连续动力系统,为工程设计提供关键知识.另外还出现在物理、化学等领域。Р1. 相似关系Р定义:Р- 3 -Р性质:Р(反身性)Р(对称性)Р(传递性)Р∽Р∽Р∽Р∽Р记作Р(1)Р(2)Р(3)Р∽Р∽Р∽Р一、特征值与特征向量的定义Р引入.Р假设Р∽Р即存在可逆矩阵Р,使得:Р定义.Р特征值和特征向量的定义让人很惊讶,因为一?个诺大的矩阵的效应,竟然不过相当于一个小小的?数λ,确实有点奇妙!Р注意.特征向量Р特征值问题仅对方阵而言。Р若存在Р设Р则称Р为Р的特征值,Р为Р的属于特征值Р的特征向量。Р5Р- 6 -Р二阶方阵特征值的几何意义Р二阶矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量的方向上的放大量。Р把方程Р例如,Р中的Р看成输入变量,Р看成输出变量,Р则这个矩阵方程就代表了一种线性变换.Р特征值为Р对应的特征向量为Р由Р知横轴方向部分变换到负方向,纵轴方向尺度不变。Р- 7 -Р所以u是对应于特征值-4的特征向量。Р易证给定的向量是否是矩阵的特征向量,也易证判Р断给出的数是否是特征值。Р例1.Р设Р判断Р是否是Р的特征向量?Р解:Р容易验证Рv不是A的特征向量.(也可从图看出)Р例2.Р设Р阶方阵Р满足:Р求Р的特征值.Р解:Р8Р注2.Р- 9 -Р注1.Р可类似证明,Р的特征值只能是零。Р则Р(1) 若Р则Р(2) 若Р的特征值只能是1或-1。Р(1) 设Р是Р的特征值,Р为任一多项式, 则Р是Р的特征值。Р(2) 设Р是Р的特征值,Р必为Р的特征值。Р(3) 设Р是Р的特征值, 且Р非奇异, 则Р为Р的特征值。Р二、特征值、特征向量的求法Р(1)Р定义.Р(2)Р的非零解.Р是Р即特征向量Р10
全文预览
