3-2矩阵的秩-课件·ppt

阶子式也等于零.Р定义:设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D,且所有?r +1 阶子式(如果存在的话)全等于零,那么 D 称为矩阵?A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 R(A).Р根据行列式按行(列)展开法则可知,矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式(如果存在的话)都可以用 r +1 阶子式来表示.?如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零,那么所有 r +2阶子式也都等于零.?事实上,所有高于 r +1 阶的子式(如果存在的话)也都等于零.А因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数.Р规定:零矩阵的秩等于零.Р矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数.Р显然,?若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零,则 R(A) ≥ s ;А若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零,则 R(A) < t .?若 A 为 n 阶矩阵,则 A 的 n 阶子式只有一个,即|A| .А当|A|≠0 时, R(A) = n ;? 可逆矩阵(非奇异矩阵)又称为满秩矩阵.А当|A| = 0 时, R(A) < n ;? 不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵.?若 A 为 m×n 矩阵,则 0≤R(A)≤min(m, n) .?R(AT) = R(A) .Р矩阵 A 的一个 2 阶子式Р矩阵 AT 的一个 2 阶子式РAT 的子式与 A 的子式对应相等,从而 R(AT) = R(A) .Р例:求矩阵 A 和 B 的秩,其中Р解:在 A 中,2 阶子式.РA 的 3 阶子式只有一个,即|A|,而且|A| = 0,因此 R(A) = 2 .Р例:求矩阵 A 和 B 的秩,其中Р解(续):B 是一个行阶梯形矩阵,其非零行有 3 行,因此其 4 阶子式全为零.Р以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式Р,因此 R(B) = 3 .Р还存在其它3 阶非零子式吗?