,当不可逆,即时,,可得.性质4.证明当,即为二阶矩阵时,设,则,,故.当时,根据是否可逆分两种情况考虑.可逆,即,由性质3可知不可逆,即,可知.若,则,可知,从而.若,则,即,故.性质5当可逆时,.证明由可知,,而,故.性质6设为常数,.证明.性质7.证明当时,.当时,令,,则存在无穷多个,使得.与均可逆,所以,该等式两端的元素是关于的有限次多项式,因为存在无穷多个,这意味着存在无穷多个数使得对应的多项式相等,即上式对任意的都成立.当时,得.伴随矩阵是由矩阵决定的,所以矩阵所具有的特点伴随矩阵一样具备.性质8若为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明若为正交矩阵,则,于是有.同理,,故也为正交矩阵.性质9若矩阵与合同,且与可逆,那么与也合同.证明因为矩阵与合同,由矩阵合同的定义可知,存在可逆矩阵,使得,又与可逆,则,令,有,又,则有,令,则是可逆矩阵且,因此与也合同.性质10若为对合矩阵,即,则也为对合矩阵.证明若为对合矩阵,则,则,因此也是对合矩阵.性质11若是一个阶正定矩阵,则也是正定矩阵.证明因为是正定矩阵,,故存在可逆矩阵,使得,那么有,由性质7可知,所以也是正定矩阵.性质12若是一个阶实对称矩阵,则也是对称矩阵.证明因为是实对称矩阵,有,由性质2可知,,所以,故也是对称矩阵.性质13若是阶可逆的,则可表示成的多项式.证明设的特征多项式为,由于可逆,故可知.由哈密顿-凯莱定理可得,即,进而可得,故.由,所以.注:哈密顿-凯莱定理:设阶矩阵的特征多项式为,,则矩阵满足特征方程,即性质14若是可逆矩阵,是其特征值,是的属于的特征向量,那么的特征值为,是的属于特征值的特征向量.证明因为可逆,所以,由,两边同时乘以得,由可得,因此.3.伴随矩阵的实际应用3.1利用伴随矩阵求逆矩阵例1设矩阵,,则分析求,首先要先将矩阵求出,再根据伴随矩阵定义,求得,利用公式即可解出.解由,得:,,
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