的第一列至少有一个元素不等于零。于是通过行初等变换可由(4)得到这里A2是一个n-2阶矩阵。这样下去,最后我们得到单位矩阵I。但对于一个矩阵施行行初等变换相当于以初等矩阵左乘这个矩阵,因此给了一个可逆矩阵A,可以找到一些初等矩E1,E2,…,Es,使(5)Es…E2E1A=I用A-1右乘这个等式的两端,得(6)Es…E2E1I=A-1比较矩式(5)和(6)。求矩阵的方法:在通过行初等变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I时,对单位矩阵I施行同样的初等变换,就得到A的逆矩阵A-1。例1求矩阵A=的逆矩阵。我们写下A,并把单位矩阵I写在A的右边:,我们施行行初等变换把A化为I。第二种求逆矩阵的方法是从行列式的性质得来的。设n阶矩阵A=那么以下等式成立:ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=这里Ast是行列式|A|中元素ast的代数余子式,由此容易看出,若是令=那么(7)AA*=A*A=我们把矩阵A*叫做矩阵A的伴随矩阵。当A是可逆矩时,由定理5.2.5,|A|≠0,因此由(7)得A=A=I这就是说(8)A-1=A*这样,我们得到了一个求逆矩阵的公式。利用这个公式去求逆矩阵,计算量一般很大,公式(8)的意义主要在理论方面。例如,我们可以应用它来给出克莱姆规则的另一种推导法。考虑线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2………………………………an1x1+an2x2+…+annxn=bn利用矩阵的乘法可以把这个线性方程组写成(9)=,这里(aij)=A是方程组的系数矩阵。当方程组的行列式|A|≠0时,系数矩阵A可逆,用A的逆矩阵A-1左乘(9)式的两端,那么由(8)式得=由此,对i=1,2,…,n,有==(b1A1i+b2A2i+…+bnAni)这正是克莱姆规则给出的方程组的解。
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