xaxax?证明与G的单位元e等价的元所作成的集合为H证由于~是等价关系,故有'~ee即HbaHe??,,.,则ebea~,~因而11~,~??bbbeaaae由题设可得11~,~??beae由对称律及推移律得11~??ab再由题设得eab~1?即Hab??1这就证明了H是G的一个子群.5.我们直接下右陪集Ha的定义如下:Ha刚好包含G的可以写成ha)(Hh?G的每一个元属于而且只属于一个右陪集.证任取Ga?则Haeaa??这就是说,G的每一个元的确属于一个右陪集若HbxHax??,则.,21bhxahx??则bhah21?,因而ahhbbhha112211,????ahhhhbbhhhha112211,?????HaHbHbHa???,故Ha=Hb这就证明了,G的每一个元只属于一个右陪集.6.若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是4的群,它们都是交换群.证设G是阶为4的群.那么G的元的阶只能是.4,2,11.若G有一个元的阶为4,则G为循环群;2.若G有一个元的阶为2,则除单位元外,其他二元的阶亦均未2.就同构的观点看阶为4的群,只有两个;由下表看出这样的群的确存在.循环群012300123112302230133012非循环群循环群是交换群,由乘法表看出是交换群10不变子群、商群1.假定群G的不变子群N的阶是2,证明,G的中心包含N.证设},{neN?N是不变子群,对于任意Ga?有Nana??1若eana??1则aan?,en?矛盾nana??1则naan?即n是中心元.又e是中心元显然.故G的中心包含N.2.证明,两个不变子群的交集还是不变子群令证21NNN??,则N是G的子群.1NnNn???及2Nn?,NanaNanaNana???????12111,故N是不变子群.3.证明:指数是2的子群一定是不变子群.证设群H的指数是2则H的右陪集为HaHe,bae
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