工程矩阵理论(第3章-矩阵的相似标准形)

= XР第三章矩阵的相似标准形Р§3.1 特征值, 特征向量РAX = XР(IA)X = 0Р|IA| = 0Р|IA| =Рa11 a12 …a1n ? a21 a22 …a2n? …………? an1 an2 …annР第三章矩阵的相似标准形Р§3.1 特征值, 特征向量Р定义3.1.2Р则称n次多项式C() = |IA|为A的?特征多项式, ?称|IA| = 0的根为A的特征值. Р满足AX = X的非零向量X称为A的?特征向量.Р设A nn,Р(A) = {| |IA| = 0}.Р第三章矩阵的相似标准形Р§3.1 特征值, 特征向量Р二. 性质Р定理3.1.1Р设A相似于B, 则|IA| = |IB|.Р|I  A| = |P|1|I  A||P|Р= |P 1||I  A||P| ?= |P 1(I  A)P| ?= |P 1IP  P 1AP| ?= |P 1P  B| = |I  B|.Р证明:Р设P 1AP = B, 则Р第三章矩阵的相似标准形Р§3.1 特征值, 特征向量Р注: 设dimV < , f Hom(V, V).Р由于 f 在不同的基下的矩阵相似, ?而相似的矩阵具有相同的特征多项式, ?故可以称|IA|为 f 的特征多项式, ?其中A为 f 在V的某一组基下的矩阵.Р第三章矩阵的相似标准形Р§3.1 特征值, 特征向量Р定理3.1.2Р设A = (aij)nn, 则Р|IA| = n + (1)kbknk,Рk=1РnР其中bk为A的所有k阶主子式之和, ?(k = 1, 2, …, n). ?特别地, b1 = a11 + …+ ann = trA, ?bn = |A|.Р证明之前先看几个例子.