,如果,那么称为多项式(1)的首项,称为首项系数,称为多项式(1)的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式的次数记为.二、多项式的运算设是数域R上两个多项式,那么可以写成在表示多项式与的和时,如,为了方便起见,在中令,那么与的和为而与的乘积为其中次项的系数是所以可表成.显然,数域R上的两个多项式经过加、减、乘运算后,所得结果仍然是数域R上的多项式.多项式的运算满足以下的一些规律:1.加法交换律:.2.加法结合律:3.乘法交换律:.4.乘法结合律:5.乘法对加法的分配律:6.乘法消去律:若且,则.定理2.1.1(1)对于多项式的加减法,当时,有.(2)对于多项式的乘法,若,则,并且由以上证明看出,多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.推论2.1.2当且仅当和至少有一个是零多项式推论2.1.3若是,且,那么定义所有系数在数域R中的一元多项式的全体,称为数域R上的一元多项式环,记为,R称为的系数域.课后作业:P311,3课堂教学方案课程名称:§2多项式的整除性授课时数:2学时授课类型:理论课教学方法与手段:讲授法教学目的与要求:理解并掌握多项式的整除概念和性质,掌握带余除法及其应用;教学重点、难点:带余除法教学内容§2多项式的整除在一元多项式环中,可以作加、减、乘三种运算,但是乘法的逆运算—除法并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.以下限于讨论一个数域上一元多项式的整除性设是一个数域,是上的一元多项式环一、整除的概念定义数域上的多项式称为整除,如果有数域上的多项式使等式成立.用“”表示整除,用“”表示不能整除.当时,就称为的因式,称为的倍式.二、整除的性质1.任一多项式一定整除它自身.2.任一多项式都能整除零多项式0.3.零次多项式,即非零常数,能整除任一个多项式.4.若,则,其中为非零常数.
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