数的和函数。Р 解:易知收敛区间为Р 当时,Р 当时Р 设Р Р Р 得出Р Р Р Р Р 综上所述Р Р方法四:代数方程法Р此种方法目的在于建立以所求幂级数的和为变量的代数方程,并解之,从而Р得到原幂级数的和函数。Р 例5:设有等差数列: Р 等比数列: 则各项为等差数列、等比数列对Р 应项的乘积所构成的级数为Р Р 求其和函数,其中为常数。Р 解:易知此级数的收敛域为Р 所以Р 例6:求幂级数的和函数,其中为的次多项式。Р 解:记Р 则Р ①Р 其中为的次多项式Р 再使用一次以上的运算方法可得Р ②Р ①-②得Р Р Р 其中为的次多项式Р 反复使用以上的方法可以得到Р Р 这样就可以求得。Р方法五:微分方程法(引用)Р在幂级数中,有一类含有阶乘运算的幂级数,这种幂级数的和函数的求法,Р也就是把幂级数的和函数微分后,再与原来幂级数作某种运算,得到一个含Р有幂级数和函数以及和函数导数的关系式,即微分方程,最后求解此微分方Р程即得和函数。Р 第一类:比较常见的幂级数例如这种类型的,只要对其进行逐项求Р导,找出各导函数之间满足的方程,得到一个关于导函数的微分方程。Р 例:求幂级数的和。Р思路:先设函数,分别对函数对x进行一阶求导,Р二阶求导,得到,Р,将,,相Р加即得方程,由已学知识可知Р,故得微分方程,故只Р需次微分方程即可,这是二阶线性常系数非齐次微分方程,可求得Р,所以幂级数的和为。Р 第二类:例如这种类型的级数,在求和的Р时候采用其他常用的方法是很难求出的,因为的系数的分子是等差数列Р前n项的和,而分母则是公差的n次幂与n!的积,要逐项求导则需要n次Р才能把n!约掉,但此时已近很复杂了,且不能顺利求和,于是我们想办法Р来求所给级数在它的收敛域内所代表的可微函数所满足的微分方程。当然这Р个微分方程的阶数越低越好。Р事实上,令对其逐项微分可得Р,Р (1-x) =Р =
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