Chapt 13 函数列与函数项级数Р教学目标:Р1. 熟练掌握函数列的一致收敛性;?2. 掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质.Р对于一般项是函数的无穷级数,其收敛性要比数项级数复杂得多,特别是有关一致收敛的内容就更为丰富,它在理论和应用上有着重要的地位.Р§1 一致收敛性Р一、函数列及其一致收敛性Р设Р是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在EР上的函数列. (1) 也可记为Р以Р代入(1), 可得数列Р如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点Р收敛,Р称Р为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数Р列(1)在点Р发散. 当函数列(1)在数集上每一Р点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每Р一点Р都有数列Р的一个极限值与之相对应,Р根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数Р列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有Р式所表示的函数.Р又Р显然是发散的. 所以Р函数列Р在区间Р外都是发散的. 故所讨论Р的函数列的收敛域是Р这就证明了在( , 1] 上收敛, 且极限就是(3)Р例2Р所以函数列Р注: 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远Р远不够的,重要的是要研究极限函数与函数列所具Р有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的Р连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导Р性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列Р每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论,Р必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行.
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