猜想至今没有证明,或许可以构造一种新型运算,使集合中的元素具有递推性,从而得到解决。通过推广数学归纳法还可将某些集合上的命题拓广.下面列出一般集合上的第一数学归纳法原理,其它形式略。第一数学归纳法原理:设命题P是关于集合M的命题。通过构造某种运算*,使得集合M={a1,a2,…,an,……}中的元素具有如下关系:a1*q=a2,a2*q=a3,…,an-1*q=an,…….若P(a1)成立,在假定P(ak)成立的条件下,可以推出成立.那么命题P对于集合M中的任何元素都成立。注:1、运算*可以是代数运算,也可以是超越运算,甚至于可以是一般的抽象运算.2、元素可以属于集合M,也可以不属于M,譬如正整数集中1∈N*,奇数集中2不属于奇数集.3、当上述方法还是无法证明时,可以考虑数学归纳法的其它形式,也可以分成几个集合,定义不同运算分别进行归纳,也可以各种形式混合使用.另外也可以去掉有限个元素后,使其具有递推性,但去掉的元素应单独证明.4、有些集合需要多步证明,例如有理数集可分别归纳分子与分母,复数集可分别归纳实部与虚部,或者分别归纳模与辐角.下面列出有理数集上第一数学归纳法原理,其它形式及证明从略.第一数学归纳法原理:设有一个关于有理数集Q的命题P(Q),①若存在Z0∈Z,命题 P(Z0)成立;②若P(k)成立(k∈Z),则P(k')与P('k)均成立;③任取m∈Z,若P(m/n)成立(n∈N),则p(m/(n+1))成立,那么对于任意有理数Q,命题P(Q)均成立.对于数学归纳法的深入研究,重在运用它去解决或证明一些问题,在社会生活和自然科学中有着极其广泛的应用。参考文献:1、《应用近世代数》胡冠章清华大学出版社,1993年版,25页—27页。2、《数学猜想》第一卷,数学中的归纳与类比,[美]G·波利亚著,李心灿、王日爽、李志尧译,科学出版社,1987年8月版,118页—132页
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