成立。Р3.3 用数学归纳法证明不等式问题Р用数学归纳法证明一些与有关的不等式时,推导“”时成立,有时要进行一些简单的放缩,有时还要用到一些其它的证明不等式的方法,如比较法、综合法、分析法、反证法等等。Р例已知函数,设数列满足,,数列满足,用数学归纳法证明。Р证明:当时,;因为,所以,下面用数学归纳法证明不等式Р当时,,不等式成立;Р假设时,不等式成立,即Р那么Р所以,当时,不等式也成立。Р根据(1)和(2)可知不等式对任意都成立。Р3.4 数学归纳法在证明数列题中的应用Р“数列类”命题的证明关键是先用递推式,后用归纳假设,即由有限个特殊事例进行归纳、猜想,从而得出一般性的结论,然后利用数学归纳法加以证明。Р例已知在数列中,它的前项和满足,试计算的值,并猜想的表达式,然后给出你的证明。Р解:由已知有,当时,Р,于是有,同理可得Р故猜想,下面用数学归纳法证明:Р当时,,猜想成立。Р假设当时猜想成立,即则当时,,Р,即Р故当时,猜想也成立。Р由(1)和(2)可知,当时猜想成立。Р3.5 数学归纳法在几何中的应用Р利用数学归纳法证明几何问题关键在于分析与的差异,到的变化情况,然后借助图形的直观性建立与的递推关系。Р例平面上由个圆,每两个圆交于两点,每三个圆不过同一点,求证这个园分平面为个部分。Р证明:1)当时,,即一个圆把平面分成两部分,所以时命题成立。Р2)假设当时,命题也成立,即个圆分平面为个部分,则时,第个圆与前个圆由2个交点,而2个交点把第个圆分成2段,每一段与原来的所在平面一分为二,故共增加了2个平面块,共有个部分。Р这就是说,当时,命题也成立。Р由(1)和(2)可知,这个圆把平面分成个部分。Р3.6数学归纳法在离散数学中的应用Р随着计算机科学的发展,离散数学在计算机研究中的作用越来越大,而离散数学中(特别是图论中)的很多命题的论证,数学归纳法不失为一种行之有效地方法。
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