时,如果定义域关于原点对称时,通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.Р2、已知函数对一切都有,①求证:是奇函数,②若,试用表示的值。Р3.已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1,Р(1)求证:f(x)是偶函数;Р(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;Р(3)试比较f()与f()的大小.Р活动:(1)转化为证明f(-x)=f(x),利用赋值法证明f(-x)=f(x);(2)利用定义法证明单调性,证明函数单调性的步骤是“去比赛”;(3)利用函数的单调性比较它们的大小,利用函数的奇偶性,将函数值f()和f()转化为同一个单调区间上的函数值.Р解:(1)令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.Р令x1=x2=-1,得f(1)=f[-1×(-1)]=f(-1)+f(-1),∴2f(-1)=0.Р∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).Р∴f(x)是偶函数.Р(2)设x2>x1>0,则Рf(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().Р∵x2>x1>0,∴>1.∴f()>0,即f(x2)-f(x1)>0.Р∴f(x2)>f(x1).Р∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.Р(3)由(1)知f(x)是偶函数,则有f()=f().Р由(2)知f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f()>f().∴f()>f().Р点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.
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