《初等数论》网络作业

,当时,当时,∴当是一个使不能被5整除的自然数时,除以的5的余数为1或0或4。4、求的个位数字。解:∵∴如果,则∵∴∴的个位数字是35、设是整数,是正整数,若2不能整除,则证明:对n作数学归纳。设,当时,有,所以结论成立.假设时,成立下面要证明时,也成立由于∴,其中为某个整数∴由归纳法,对所有的正整数,成立6、设是任意二个正奇数,则当是任意二个连续奇数或连续偶数时,有.特别地,若是二个连续的正奇数时,则,且证明:不妨设a,b是任意二个连续偶数,则,由于且都是偶数∴是偶数设,则∴7、设是整系数多项式,且都不能被整除,证明方程没有整数解。证明:对任意整数,利用同余可加性和同余可乘性得∵都不能被整除∴,即没有整数解。《初等数论》网络作业31、求不定方程的整数解。解:令,则令,则从而不可能同时为整数∴原不定方程没有整数解2、甲种书每本5元,乙种书每本3元,丙种书1元三本,现用100元买这三种书共100本,问甲、乙、丙三种书各买多少本?解:设甲、乙、丙三种书分别买本,依题意得方程组,消去得,显然是方程的特解因此方程的所有整数解是令,所以,即可以取整数值相应地求得的值分别是3、求的一切整数解。解:因为,而,所以原方程有整数解对不定方程,即,把看做常数,得其通解为对不定方程,解得通解为在上述二个式子中消去得,原方程的全部整数解为4、求不定方程的所有正整数解。解:依次解不定方程得和在上述二个式子中消去得,令,则∴∴同理,由得,,把代入得,原不定方程的唯一的正整数解是5、求不定方程的所有整数解。解:由于的系数绝对值最小,∴把原方程变形为令,则令,则逆推上去,依次解得和令,则原方程的所有整数解为解同余方程解:因为,所以原同余方程只有一个解下面利用同余变形法∵或者∴是原同余方程的解7、解同余方程组解:把第一个方程乘以2,减去第二个方程乘以3得到,即,即,即∴代入得,即,即∴,即∴同余方程组的解是