概念,并写出小于18的所有质数。Р答:一个大于1的整数,如果它的正因数只有1和它本身,就叫作质数。Р小于18的所有质数是2,3,5,7,11,13,17。Р5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。Р答:0,1,2,…,m-1称为m的最小非负完全剩余系。Р6. 2358是否是3的倍数,为什么?Р答:2358是3的倍数。Р因为一个整数能被3整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3的倍数,而2+3+5+8=18,18是3的倍数,所以2358是3的倍数。Р二、给出不定方程ax + by = c有整数解的充要条件并加以证明。Р解: 结论:二元一次不定方程ax + by = c有整数解的充要条件是。Р证明如下:若ax + by = c有整数解,设为,则Р但,,因而,必要性得证。Р反之,若,则,为整数。由最大公因数的性质,存在两个整数s,t满足下列等式Р于是。Р令,则,故为ax + by = c的整数解,从而ax + by = c有整数解。Р三、给出有关同余的一条性质并加以证明。Р答:同余的一条性质:整数a,b对模m同余的充要条件是m|a-b,即a=b+mt ,t是整数。Р证明如下: 设,,,。若a≡b(mod m),则,因此,即m|a-b。Р反之,若m|a-b,则,因此,但,故,即a≡b(mod m)。Р四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。Р答:若a,b是两个整数,其中b>0,则存在两个整数q及r,使得Рa=bq+r,Р成立,而且q及r是唯一的。Р下面给出证明:Р证作整数序列Р…,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,…Р则a必在上述序列的某两项之间,及存在一个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立。令a-qb=r,则r为整数,且a=qb+r,而。Р设是满足(2)的另两个整数,则Р,Р所以,于是,故。由于r,都是小于b的正整数或零,故。如果,则,这是一个矛盾。因此,从而。
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