题设的最小正整数Р定理6 Р证因,故存在整数使得.但,故.因,故由定理5得,Р故存在整数使得.由得Р 例5 设为正整数,证明Р能被1985整除(匈牙利数学奥林匹克竞赛题)Р证因,故只需分别证即可.Р因,能被整除,能被整除,故Р又因,能被整除,能被整除,故.Р 定义设是个非零整数,若是这个数中每一个数的倍数,则就叫这个数的一个公倍数.在的一切公倍数中的最小正数叫做的最小公倍数,记作Р显然, Р定理7 设是任给的两个正整数,则Р (ⅰ)的所有公倍数就是的所有倍数;Р (ⅱ)Р定义一个大于1的整数,如果它的正因数只有1和它本身,就叫质数,否则叫合数.Р定理8 设是一个质数,为任一整数,则Р证因Р定理9 若是一个质数,,则Р证若卜,则有定理8得,.再由及定理5得Р定理10 (算术基本定理)任意大于1的整数都可表示成为质数的乘积,即对任一整数,有Р Р其中都是质数.并且若Р其中都是质数,则Р 推论1 任意大于1的整数都可以惟一地表为Р (4)Р其中都为质数,且Р (4)叫做的标准分解式. Р推论2 设是一个大于1的整数,且(4) 为的标准分解式,则的正因数可以表成Р的形式,且当可表为以上形式时,是的正因数.Р 推论3设是两个正整数,且Р Р则Р其中Р例6 证明:若则不是完全平方数。Р证假设是完全平方数,则存在整数使得若,则,这与矛盾.故不妨设又因Р故存在整数使得把代入,再整理,得Р由此得Р故存在整数使得Р从而Р于是,Р (5)Р由此得Р但都为正整数,故这与(5)式矛盾。Р第三讲高斯函数Р定义设是一个实数,以表示不大于的最大整数,以表示.我们把叫做的整数部分,而把叫做的小数部分.Р如.Р性质:Р1. Р2. Р3. ,这里是一个整数.Р证Р4.Р证Р定理1 设,则在不大于的所有正整数中,的倍数共有个.Р证.Р故是所有不大于的的倍数,一共有个.Р定理2 在的标准分解式中,质因数的指数为.
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