整数项的个数为.螃羄肁螇蒅螂膁膈4.(2009二试3)设,是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数,使得与互素.羃薁芁蕿蚅薄莁蚆莇莃蒀肇袅膂薀5.(2010二试)设和是大于1的整数,求证:蒈薇袁蚀衿羅羄蚀肆螆蚃螀蒆膄蒁6.(2011二试2)证明:对任意整数,存在一个次多项式袀袇具有如下性质:(1)均为正整数;(2)对任意正整数,及任意个互不相同的正整数,均有.袆蒄羀芈莄芃肀虿肆7.(2012二试2)试证明:集合满足肂(1)对每个,及,若,则一定不是的倍数;腿对每个(其中表示在N中的补集),且,必存在,,使是的倍数.螆薄螁艿膇芆袄艿薈蚄薃荿罿莅莂葿莀袃8.(2013二试2)给定正整数.数列定义如下:,对整数,莄蕿记().证明:数列中有无穷多项是完全平方数.蒆薅膃虿袇芇羂螈芈螅螁袈虿蒇螄袈袆羅薃羈芇蚇节莂蚈肄莅蒂芇羅节蚁蚈初等数论参考答案蒃肁螀螅膅4.【解析】证法一:对任意正整数,令.我们证明.袀设是的任一素因子,只要证明:p.袀若pk!,则由.膆及,且pα+1k!,知且.从而p.蚃证法二:对任意正整数,令,我们证明.袃设是的任一素因子,只要证明:p.若pk!,则由羀.薇即不整除上式,故p.莅若,设使,但..故由蚂,及,且pα+1k!,知且.从而p肀5.证明:羈螂莁膀膄蒄腿芀7.【解析】证明:对任意的,设则如果是任意一个小于的正整数,则薅由于与中,一个为奇数,它不含素因子,另一个是偶数,它含素因子的幂的次数最多为,因此一定不是的倍数;羂若,且设其中为非负整数,为大于的奇数,膂则芀下面给出(2)的三种证明方法:羆证法一:令消去得蚄由于这方程必有整数解;其中为方程的特解.羁把最小的正整数解记为则,故使是的倍数.莀证法二:由于由中国剩余定理知,同余方程组莇在区间上有解即存在使是的倍数.膂螀Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse
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