浅谈不等式恒成立问题+论文

线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程并设函数g(x)=kx+m(Ⅰ)用x0,f(x0),(x0)表示m;(Ⅱ)证明:当x(0,)时,g(x)f(x)(Ⅲ)若关于x的不等式x2+1ax+b在[0,)上恒成立,其中a、b为实数。求b的取值范围及a与b所满足的关系。本题(Ⅲ)应用了此方法。(Ⅲ)解:0b1,a>0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。x2+1ax+b即x2-ax+(1-b)≥0对任意x[0,)成立的充要条件是a令(x)=ax+b-,于是ax+b对任意x[0,)成立的充要条件是(x)0由(x)=a-=0得x=当0<x<时,(x)<0;当x>时,(x)>0,所以,当x=时,(x)取最小值。因此,(x)0成立的充要条件是()0。即a综上,不等式x2+1ax+b对任意x[0,]成立的充要条件是a………………………………………………①显然,存在a、b使①式成立的充要条件是:不等式…………………………………………②有解。解不等式②得……………………………③因此,③式即为b的取值范围,①式即为实数a与b所满足的关系。4.数型结合法例7:如果对任意实数x,不等式恒成立,则实数k的取值范围是解析:画出y1=,y2=kx的图像,由图可看出0k1K=1例8:已知a>0且a1,当x(-1,1)时,不等式x2-ax<恒成立,则a的取值范围解析:不等式x2-ax<可化为ax>x2-画出y1=ax,y2=x2-的图像。由图可看出a<1或1<a21在解综合性较强的恒成立问题时,有时一题多法。所以以题为本,关键抓住恒成立的实质,具体问题具体分析,不拘泥于一种方法。参考文献1.2005年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)2.2005年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)3.2003年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)4.2005年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)