面的讨论相矛盾。由此,对于实数域的多项式不存在这样的普遍使用的方法:(1)它是由有限次代数运算构成的;(2)它可以将任意实系数多项式分解成实数域上既约多项式的乘积。Р 3.存在适用于将有理数域上多项式分解为有理数域上既约多项式的一般方法。Р 定理2:在有理数域Q上,任何n(n≥1)次多项式f(x)都能经过有限次算术运算分解成既约多项式的乘积。Р 通过对Kronecker定理的证明,可以得到因式分解的具体方法和步骤,可经过有限次有理运算,将有理数域中任意一个多项式分解为既约多项式的乘积。这种方法使用比较繁杂,不够实用,但具有极大的理论价值。Р 4.在一般数域P上,情况更加复杂。Р (二)因式分解的其它一些特殊方法Р 1.待定系数法。Р 2.除法:(1)结合使用余数定理、因式定理,用综合除法;(2)一般除法:用于析出已知的高于一次的因式和其它一些特殊情况。Р 3.求根法:(1)利用有理根(含可能的有理根);(2)利用实根(不论实根是通过什么途径获得的);(3)利用复根(含利用共轭复根)。Р 4.可约性的判别法。Р 5.去除因式重数(或重根)。Р 6.运用行列式。Р 7.关于多元多项式的因式分解,可利用多项式的某种特性(如对称性)。例如,对称式、轮换式与交代式的因式分解。Р 8.运用有关定理和专项研究出的结论。例如,关于二元二次多项式因式分解的若干定理。Р 9.综合运用上述两种或两种以上的方法。Р (三)因式分解的研究方向Р 因式分解的两个基本问题的结论自然决定了因式分解的研究方向: Р 1.可约性问题Р (1)有理数域上可约性的进一步完善; Р (2)可约的条件; Р (3)多元多项式的情形。Р 2.分解的理论及方法Р (1)某一类型或某一范围的特殊方法及理论的研究; Р (2)有理数域上因式分解的一般方法及步骤的进一步探讨; Р (3)一般数域P上,因式分解理论的进一步深化。
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