因此,当PD+PG取最小值时,M,P,G三点在同一条直线上,此时DP+PG=MG.进一步得到:当MG取得最小值时,DP+PG随之取得最小值.下面分析MG何时取得最小值.注意到问题与点G有关,点G是△BCG的直角顶点,△BCG的斜边为定值,因此,其斜边的一半也为定值,因此取BC中点N,连结GN,则GN的长为2.连结MN,结合定点M,可知MN也为定值.再分析点G,无论点E怎样变化,点G始终在以N为圆心,NG长为半径的圆上.根据三角形两边之差小于第三边,可知,当点M,G,N不在同一直线上时,MG>MN-GN,进一步可知,当点G在线段MN上时,MG=MN-GN,此时MG最小,最小值为MN-GN.如图②,易知MN的长,进一步可得结果.sQsAEJkW5T如图②,作点D关于AB轴对称的点M,取BC中点N,连结MN,交AB于点P,以BC为直径画圆,交MN于点G,则DP=MP,∴DP+PG=MP+PG=MG=MN-GN.作NQ⊥AD于Q,则MN=MQ2+NQ2=213,∴MN-GN=213-2,∴PD+PG的最小值为213-2.GMsIasNXkA10.解:(1)∵抛物线y=12x2+bx+c经过点A(0,3),C(-3,0),∴c=3,12×(-3)2-3b+c=0.解得b=52,c=3.TIrRGchYzg∴抛物线的解析式为y=12x2+52x+3.(2)根据二次函数图象的对称性可知MD=MC,要求|MB-MD|的值最大,就是使|MB-MC|的值最大,由三角形两边之差小于第三边,得当点B,C,M在同一条直线上时,|MB-MD|的值最大.由一次函数和二次函数的图象交于A,B两点,得12x2+52x+3=12x+3,解得x=-4或x=0.当x=-4时,y=1,即点B(-4,1).7EqZcWLZNX∵点C(-3,0),∴BC=(-4+3)2+(1-0)2=2,∴|MB-MD|的最大值为2.
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