二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论

在关于的偏导数,又存在关于的偏导数,也未必在点连续.不过,我们却有如下定理:Р定理1 设函数在点的某邻域内有定义,若作为的一元函数在点=连续,在内有界,则在点连续.Р证明任取, 则Р (1)Р由于在存在,故对于取定的, 作为的一元函数在以和+为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日Р中值定理,存在∈(0 ,1) ,使Р将它代入(1) 式, 得Р (2)Р由于,故有界,因而当时, 有Р.Р又据定理的条件知,在=连续,故当时, 又有Р.Р所以, 由(2) 知, 有Р.Р这说明在点连续.Р推论 1 设函数在点的某邻域内有定义,若作为的一元函数在点连续,在点连续,则在点连续.Р证明由于在点连续,故必在点的某邻域内有界,因而据定理1 ,在点连续.Р推论 2 设函数在点的某邻域内有定义. 若在有界, 存在,则在点连续.Р证明由于存在,故作为的一元函数在点=连续,从而据定理1可得,在点连续.Р推论 3 设函数在点的某邻域内有定义,若在点连续, 存在,则在点连续.Р证明由于在点连续,故必在点的某邻域内有界. 又由于存在,故作为的一元函数在点连续,因而据定理1可得出,在点连续.Р同理可证如下的定理2及其推论.Р定理 2 设函数在点的某邻域有定义,在内有界,作为的一元函数在点=连续,则在连续.Р推论 1 设函数在点的某邻域内有定义, 在点连续, 作为的一元函数在点连续,则在点连续.Р推论 2 设函数在点的某邻域内有定义,在内有界, 存在,则在点连续.Р推论 3 设函数在点的某邻域有定义, 在点连续, 存在,则在点连续.Р2.2 二元函数可微性的进一步研究Р众所周知,一元函数中,可微性与可导是一回事,但在二元函数中情况就不同了.Р定理 3 函数在点可微的充分必要条件是在点的俩个偏导数都存在,且对,,当Р.Р证明必要性已知函数在点可微,故与存在,且Р,Р其中.Р即Р Р于是,当时,有