对(1)式两边关于x求导得(2)Р将代入原题给的等式中,得,Р将代入(2)得Р将代入(2)得Р故为极大值点,;为极小值点,Р(19)(本题满分10分)设函数在区间上具有2阶导数,且,证明:Р方程在区间内至少存在一个实根;Р方程在区间内至少存在两个不同实根。Р【答案】Р【解析】Р(I)二阶导数,Р解:1)由于,根据极限的保号性得Р有,即Р进而Р又由于二阶可导,所以在上必连续Р那么在上连续,由根据零点定理得:Р至少存在一点,使,即得证Р(II)由(1)可知,,令,则Р由罗尔定理,则,Р对在分别使用罗尔定理:Р且,使得,即Р在至少有两个不同实根。Р得证。Р(20)(本题满分11分)已知平面区域计算二重积分。Р【答案】Р【解析】Р(21)(本题满分11分)设是区间内的可导函数,且,点是曲线L: 上任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点,法线与x轴相交于点,若,求L上点的坐标满足的方程。Р【答案】Р【解析】设的切线为,令得,法线,令得。由得,即。令,则,按照齐次微分方程的解法不难解出,Р(22)(本题满分11分)设3阶矩阵有3个不同的特征值,且。Р证明:Р若,求方程组的通解。Р【答案】(I)略;(II)通解为Р【解析】Р(I)证明:由可得,即线性相关,Р因此,,即A的特征值必有0。Р又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.Р且由于A必可相似对角化,则可设其对角矩阵为Р∴Р(II)由(1),知,即的基础解系只有1个解向量,Р由可得,则的基础解系为,Р又,即,则的一个特解为,Р综上,的通解为Р(23)(本题满分11分)设二次型在正交变换下的标准型,求的值及一个正交矩阵.Р【答案】Р【解析】Р,其中Р由于经正交变换后,得到的标准形为,Р故,Р将代入,满足,因此符合题意,此时,则Р,Р由,可得A的属于特征值-3的特征向量为;Р由,可得A的属于特征值6的特征向量为
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